En un breve recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones para su enseñanza: Villella (1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se enseñaba con un fin meramente utilitario: dividir cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su carácter era formativo, cultivador del razonamiento, complementándose con el fin instrumental en tanto desarrollo de la inteligencia y camino de búsqueda de la verdad.
Hoy podemos hablar de 3 fines: formativo, instrumental y social[2]. Teniendo en cuenta algunos contextos: de producción, de apropiación, de utilización del saber matemático. Ya nadie discute acerca del carácter democratizador y emancipador del conocimiento y dominio de esta ciencia.
Dentro de los conocimientos matemáticos, el número fue el primero en desarrollarse en tanto representación directa (o casi) de la realidad material (natural). Por ello parece razonable comenzar por él.
Además fundamentamos la necesidad de la enseñanza del número en tanto concepto estructurante de la propia disciplina y del proceso de apropiación de saberes matemáticos en el niño.
Queremos recalcar que en tanto producto cultural, de uso social extendido, desde muy temprano los niños y niñas se ven inmersos en ellos, ya sea escuchando cantidades, precios, etc., por lo cual se hace imprescindible comenzar con su enseñanza desde los niveles iniciales (preescolares) proyectándola a lo largo de toda la escolarización. Esta noción se corresponde con la visión sistémica y procesual que postula la escuela francesa y nosotros planteamos como una imperiosa necesidad[3].
Por lo tanto proyectar la enseñanza comenzando por el campo de los naturales, ya que es el de más fácil conceptualización, requiere no desconocer ni ocultar la existencia de otros campos numéricos dado que las niñas y niños “conocen” números no naturales, evitando así la instalación de obstáculos epistemológicos derivados de tal parcialización.
Desde esta lógica comenzamos a introducirnos en la conceptualización del número por los naturales, avanzando hacia los otros campos numéricos.
Contar y calcular
Para comenzar aclaramos que contar y calcular son maneras distintas de establecer relaciones entre cantidades. Donde una de ellas se opone a la otra, en el sentido de que al contar se establece una relación entre elementos de una colección y palabras–número; mientras que al calcular se establece una relación directa entre cantidades, sin pasar por la construcción de colecciones cuyos elementos se cuentan.
Hay que tener en cuenta que no se cuenta con un solo propósito, sino que se hace con varios sentidos. Algunos de ellos son: comparar, ordenar, igualar, sumar y comunicar.
El proceso de contar es complejo ya que requiere: i- conocer la serie numérica o parte de ella, ii- establecer la relación biunívoca uno a uno entre los elementos a contar y las palabras–número que se recitan iii- e identificar el último término enunciado como representante de la cantidad.
Brissiaud distingue la acción de contar–numerar de la de enumerar de la siguiente manera. Al contar–numerar simplemente se asigna a cada elemento del conjunto una palabra–número que lo identifica. En tanto al enumerar, luego de contar–numerar cada uno de los elementos, la última palabra–número representa la cantidad de elementos de la colección, expresando así su cardinalidad.
Por otra parte, establecer relaciones entre cantidades a través del cálculo requiere mayores niveles de abstracción: separarse del apoyo concretoutilizando formas numéricas con cierto grado de simbolización (cifras, configuraciones estándar como los puntos de los dados, etc.).
Se entiende que existen diversas formas de calcular que permiten arribar a resultados. Si bien no todas ellas son exactas, tienen valor en tanto resuelven distintas situaciones. Por ejemplo el cálculo pensado, que no utiliza algoritmos, el cálculo sistemático o algorítmico, probabilístico, etc.
El cálculo no es el tema central de este trabajo, igualmente hacemos algunas referencias a él en tanto interviene en el proceso de conceptualización del número.
propuesta didáctica
Siguiendo la fundamentación de Vergnaud, en tanto concebimos el concepto como un ente multifacético, proponemos se planifique de manera secuenciada atendiendo en cada propuesta una propiedad o faceta del concepto que se desea enseñar. Realizaremos algunas propuestas que ilustran qué conceptos consideramos indispensable trabajar en los tres niveles para acceder al concepto de número y los sistemas de numeración.
La evaluación de conocimientos al comenzar el nivel es la primera tarea a emprender. Se debe evaluar no solo los conocimientos alcanzados por los niños sino también las estrategias que son capaces de desarrollar y las posibilidades de resolver problemas.
Para ello el juego es un elemento de valor didáctico. Al respecto existen varias posturas. Sostenemos que no se debe quitar al juego su carácter lúdico y espontáneo. Es interesante que para poder jugar satisfactoriamente el niño deba superar obstáculos, tal como cuando se plantea un problema. Ahora bien el juego se transforma en recurso didáctico cuando el docente lo propone sabiendo que para poder jugar el niño deberá poner en acción ciertos conocimientos.
En cuanto al abordaje por niveles, en el primero el niño debe aprender que el número tiene dos contextos de significación, cardinal y ordinal, y sirve para contar y calcular. Además debe manejar las decenas en tanto agrupación de unidades (en 1o) y de centenas como agrupación de 10 decenas y 100 unidades (en 2o)[13].
Esto implica proponer actividades en las que deba cuantificar y ordenar. Para trabajar dentro del contexto cardinal el niño debe agrupar, comparar, aparear, clasificar; manipulando objetos, utilizando el cuerpo, etc., permitiéndole relacionar lo experimentado con representaciones de un mayor orden simbólico.
En relación a los recursos didácticos presentamos la importancia de las colecciones de muestra, el uso de los dedos, de constelaciones como elementos que facilitan la comparación y la cuantificación.
Se puede trabajar con: canciones en las que se recite parte de la serie numérica; juegos y juegos cancionados en los que se represente parte de la serie numérica con los dedos; cacerías de números (“buscar cosas que tengan…”); trabajar con el número de la fecha representándolo con los dedos (¿cómo resolverlo luego del 10 de cada mes?); juegos de agregar; de quitar; ya sea de a uno o más elementos; trabajar con los números de la clase (cuántos son, cuántos faltaron, cuántas sillas necesitamos, cuántas mesas); utilizar el calendario; trabajo con dados, tetraedros (numerados o con constelaciones), ruletas numéricas (con constelaciones numéricas o signos arábigos).
En varios de estas actividades se pueden plantear problemas, introduciendo “trampas didácticas”, distractores.
Algunos de estos recursos sirven también para trabajar en el contexto ordinal. Incluimos algunos específicos: trabajar en coordinación con la construcción de la noción de tiempo; seriar acciones; figuras; identificar una cantidad entre otras en una serie numérica oral o escrita; ordenar una serie de números (que en un segundo momento puede ser no correlativa).
Para descubrir las funciones de contar y calcular, proponemos actividades y estrategias que deben guiar la práctica a: descubrir regularidades, producir escrituras y otras representaciones, así como interpretarlas, componer y descomponer números. Descubrir “leyes” del sistema numérico, promover el cálculo mental tal como se describió anteriormente.
A este respecto, reiteramos que es importante el uso de los dedos, de constelaciones (configuraciones estándar).
En segundo nivel el currículo introduce los números racionales[14]. En sus expresiones fraccional y decimal.
Es necesario recordar cómo y por qué surge este campo de manera de poder problematizar y secuenciar su enseñanza.
En primer lugar no debemos olvidar que cada número racional tiene infinitas representaciones fraccionales (ej. 2/5=8/20=2n/5n), no todos ellos son decimales (es decir, no todas admiten ser representadas “con coma”, con un número finito de cifras, p.ej. 2/3)[15], a su vez no confundir las fracciones con los números decimales[16]. Cuando trabajamos con escalas, porcentajes, divisiones de número decimales (que son un sub–conjunto de los racionales), estamos trabajando con fracciones equivalentes (ej. “8 dividido 4” es equivalente a 2/1, 1/3=33%)[17].
Previa y simultáneamente se debe trabajar con proporciones (desde 2o año, el doble de…, la mitad de…), razones, equivalencias, porcentajes, escalas, la fracción como relación parte–parte y relación parte–todo.
En el tercer nivel se trabaja explícitamente el concepto de razón, proporción, se introducen algunos números irracionales (aquellos que no admiten una representación decimal, p.ej. ¶ –Pi–, √ y exponenciación). Por lo que es fundamental relacionar la definición de estos conceptos con los anteriores. Por ejemplo, al trabajar las razones, es importante hacer visible el hecho de que ya conocen razones (una de las facetas de las fracciones).
Además es el momento apropiado para analizar diversos sistemas de numeración (binario, sexagecimal, etc.), dado que ya manejan suficientes elementos como para realizar comparaciones y conversiones. Dicho contenido permite profundizar en la construcción del concepto de número.
Cerrando este apartado queremos plantear la necesidad de permitir la experimentación, incluso más allá de los conceptos prescriptos para el nivel y grado. Esto, como ya dijimos, permite abstraer propiedades y generalizar las experiencias de la vida cotidiana.
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